La física usa esta teoría todos los días y predice números con doce cifras correctas. Lo que no existe es una construcción matemáticamente rigurosa de ella.
El problema pide demostrar que existe una teoría cuántica de Yang-Mills en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, para un grupo de gauge compacto simple cualquiera, y que esa teoría tiene un salto de masa: un número Δ > 0 tal que toda excitación distinta del vacío pesa al menos Δ.
Lo primero es lo más duro y lo que suele pasarse por alto. No hay que probar una propiedad de un objeto conocido: hay que construir el objeto y demostrar que satisface los axiomas de una teoría cuántica de campos —los de Wightman, o los euclídeos de Osterwalder y Schrader—. Nadie ha construido ninguna teoría de campos interactuante en cuatro dimensiones.
El enunciado oficial lo escribieron Arthur Jaffe y Edward Witten.
Chen Ning Yang y Robert Mills publicaron en 1954 una generalización del electromagnetismo en la que la simetría de gauge, en vez de ser conmutativa, es un grupo no abeliano. El precio es que los campos interactúan consigo mismos: los fotones no se ven entre ellos, los gluones sí.
La teoría se quedó guardada un tiempo porque parecía exigir partículas sin masa que nadie observaba. Se rescató en los setenta, cuando quedó claro que describe la fuerza nuclear fuerte y la débil. Hoy es la columna del Modelo Estándar.
En 1973 David Gross, Frank Wilczek y, por separado, David Politzer descubrieron la libertad asintótica: en estas teorías la interacción se debilita a energías altas. Eso las hace tratables con perturbaciones a energías altas y salvajemente intratables a energías bajas, que es justo donde vive el salto de masa. Les dieron el Nobel en 2004.
Si tiras de dos cargas eléctricas, el campo entre ellas se diluye y la fuerza cae como 1/r². Con la carga de color pasa lo contrario: el campo se aprieta en un tubo de sección constante, y la energía crece proporcional a la distancia. Antes de que puedas separar los quarks, la energía acumulada alcanza para fabricar un par nuevo y lo que obtienes son dos partículas, no un quark suelto.
Kenneth Wilson dio en 1974 la formulación que permitió atacar esto: poner la teoría en un retículo. Las variables ya no son campos continuos sino elementos del grupo en las aristas, y el observable que decide es el bucle de Wilson. Si su valor medio decae con el área encerrada, hay confinamiento; si decae con el perímetro, no.
La simulación de esta página hace exactamente eso en el caso más simple, con el grupo Z₂. Con acoplamiento β = 1 mide bucles de 0,766 · 0,324 · 0,096 · 0,010 para tamaños 1 a 4. Eso es tanh(β)R² al tercer decimal: ley de área exacta, medida por Monte Carlo.
Las simulaciones de retículo de la QCD real reproducen el espectro de hadrones con un error de pocos por ciento. La evidencia física de que el salto de masa existe es abrumadora. Lo que no hay es demostración.
En dos y tres dimensiones sí se puede. El programa de teoría constructiva de campos, empujado sobre todo por James Glimm y Arthur Jaffe desde los años sesenta, construyó rigurosamente varias teorías interactuantes en dimensión dos y tres. En cuatro, todas las técnicas se rompen.
Hay avances en el paso al continuo. Tadeusz Bałaban publicó en los años ochenta una serie larga de artículos sobre el grupo de renormalización para Yang-Mills en el retículo, y Magnen, Rivasseau y Sénéor obtuvieron resultados en volumen finito. Nadie ha cerrado el límite completo.
El obstáculo. Construir la teoría exige controlar el límite del retículo al continuo simultáneamente con el de volumen infinito, y en cuatro dimensiones no se conoce ninguna cota uniforme que sobreviva a los dos. Además la propia definición del objeto —una medida de probabilidad sobre un espacio de conexiones módulo gauge— es delicada.
Un aviso honesto: este es, con diferencia, el problema de los siete sobre el que menos se avanza. Los otros seis tienen al menos un programa. Aquí ni siquiera hay acuerdo sobre cuál sería el camino.