Los primos parecen caer sin patrón. El patrón existe, y está escrito en los ceros de una función.
La función zeta se define para Re(s) > 1 como una suma, y ahí ya guarda todo el asunto:
ζ(s) = Σn≥1 n−s = Πp primo (1 − p−s)−1
La igualdad de la derecha es de Euler y es sólo el teorema fundamental de la aritmética escrito con series. Riemann extendió la función a todo el plano complejo salvo un polo en s = 1. Así extendida tiene ceros triviales en los enteros pares negativos, y otros —los que importan— dentro de la franja 0 < Re(s) < 1.
La hipótesis dice que todos esos ceros tienen parte real exactamente ½. Nada más. De ahí se sigue la estimación más fina posible para la distribución de los primos.
Lo que convierte esto de curiosidad en el problema central de la teoría de números es una identidad. Define ψ(x) como la suma de log p sobre todas las potencias de primos menores o iguales a x. Es una escalera irregular. Entonces:
ψ(x) = x − Σρ xρ/ρ − log 2π − ½·log(1 − x−2)
A la izquierda, los primos. A la derecha, una recta menos una onda por cada cero. Los primos y los ceros son la misma información escrita de dos maneras. La figura de esta página calcula esa suma en vivo, metiendo ceros de a uno; con veinte o treinta ya se ven aparecer los escalones.
Si todos los ceros están en la recta crítica, cada onda tiene amplitud √x y el error al contar primos queda acotado por O(√x · log x). Un solo cero con parte real σ > ½ metería un término de tamaño xσ y rompería esa cota.
1896 — Hadamard y de la Vallée Poussin demuestran, de forma independiente, que no hay ceros con Re(s) = 1. De ahí sale el teorema de los números primos. Es el primer resultado grande que la zeta produce.
1914 — Hardy demuestra que hay infinitos ceros sobre la recta crítica. No dice qué proporción.
1942 — Selberg demuestra que una proporción positiva está sobre la recta. 1974 — Levinson la sube a más de un tercio. 1989 — Conrey a más de dos quintos. 2020 — Pratt, Robles, Zaharescu y Zeindler a más de cinco doceavos, un 41,7%.
Agosto de 2026 — Levent Alpöge y Ralph Furman publican una cota de más de dos tercios: al menos el 66,7% de los ceros son simples y están en la recta crítica, y con la ventana de Montgomery-Taylor la cifra sube al 67,25%. El artículo lleva una nota inusual: «Proof discovered autonomously by Claude (Anthropic); verified and communicated by the listed authors».
Verificación numérica. Se han comprobado los primeros diez billones de ceros sin una sola excepción. Eso no demuestra nada —hay enunciados sobre primos cuyo primer contraejemplo aparece más allá de 10300— pero descarta que el contraejemplo sea fácil de encontrar.
Y una versión sí está demostrada. El análogo de la hipótesis para cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos lo probó Weil en los años cuarenta, y Deligne cerró en 1974 el caso general con las conjeturas de Weil. Que ese análogo sea cierto es la razón principal por la que casi todos creen que la original también lo es.
El obstáculo tiene nombre: no se conoce ninguna estructura que fuerce a los ceros a alinearse. En el caso de cuerpos de funciones, esa estructura existe —los ceros son autovalores del Frobenius actuando sobre cohomología— y por eso el problema se puede resolver. En los enteros no se conoce el objeto equivalente. La conjetura de Hilbert-Pólya, de que los ceros son autovalores de un operador autoadjunto, lleva un siglo sin materializarse.
Hay un dato que la sostiene: la estadística de los espaciados entre ceros consecutivos coincide, con precisión notable, con la de los autovalores de matrices aleatorias hermíticas. Lo notó Hugh Montgomery en 1972 en una conversación con Freeman Dyson, y las computaciones de Odlyzko lo confirmaron con millones de ceros.
Sobre lo que hay en juego: hay miles de teoremas publicados que empiezan por «asumiendo la hipótesis de Riemann». Demostrarla los convertiría en teoremas de golpe. Refutarla obligaría a reescribir la teoría analítica de números entera.