Se escriben en una línea, se usan para diseñar aviones y predecir el tiempo, y nadie sabe si sus soluciones existen para siempre.
Las ecuaciones describen un fluido incompresible y viscoso:
∂tu + (u·∇)u = −∇p + ν∆u + f , ∇·u = 0
Arrastre, presión, viscosidad y una fuerza externa. La pregunta es si, partiendo de un dato inicial suave con energía finita, la solución sigue siendo suave para siempre o si en algún instante alguna cantidad se dispara al infinito.
El enunciado oficial de Charles Fefferman tiene cuatro partes, y demostrar cualquiera de ellas se lleva el premio. Las dos primeras piden existencia y suavidad para siempre, en todo el espacio y en el toro, con fuerza nula. Las dos últimas piden lo contrario —que las soluciones se rompan— y éstas sí admiten un término de fuerza, siempre que sea suave y decaiga adecuadamente. Ese detalle es el que está en el centro de la discusión de esta semana.
En dos dimensiones el problema está resuelto desde 1959: Olga Ladyzhenskaya demostró existencia y unicidad global. La diferencia con tres dimensiones es un único término.
Si escribes la ecuación en términos de la vorticidad ω = ∇×u, en 3D aparece un sumando que en 2D es idénticamente cero:
∂tω + (u·∇)ω = (ω·∇)u + ν∆ω
Ese (ω·∇)u es el estiramiento de vórtices. Un tubo de vorticidad que se estira gira más rápido, igual que una patinadora que recoge los brazos, y al girar más rápido puede estirarse más. Es un mecanismo de realimentación que en 2D no existe porque la vorticidad es perpendicular al plano y no se puede estirar.
El otro problema es de escalas. La energía se conserva, pero la cantidad que controla la suavidad no está acotada por la energía: hay exactamente el mismo peso entre el término que concentra y el que difunde. Se dice que la ecuación es supercrítica, y por eso ningún argumento basado sólo en energía puede cerrar el caso.
1934 — Jean Leray construye soluciones débiles globales: existen para siempre, pero no se sabe si son únicas ni si son suaves. Es la base de todo lo que vino después. Eberhard Hopf lo extiende a dominios acotados en 1951.
1962 — Prodi, Serrin y Ladyzhenskaya dan criterios: si cierta norma se mantiene acotada, la solución es suave. No se sabe demostrar que se mantenga.
1982 — Caffarelli, Kohn y Nirenberg demuestran el resultado de regularidad parcial más fino que se conoce: el conjunto de puntos singulares de una solución débil adecuada tiene medida de Hausdorff parabólica unidimensional nula. En cristiano: si hay singularidades, son muy pocas.
2016 — Terence Tao construye una explosión en tiempo finito para una versión promediada de Navier-Stokes que conserva la estructura de energía. Su conclusión es un aviso: cualquier demostración de regularidad global tendrá que usar algo más que las estimaciones de energía, porque su ecuación las satisface todas y aun así explota.
2021 — Tarek Elgindi demuestra explosión en tiempo finito para Euler en 3D con datos C1,α, publicado en Annals of Mathematics. 2022 — Jiajie Chen y Thomas Hou prueban, con asistencia de computador, explosión autosemejante para Euler 3D con frontera, cerrando el escenario de Hou-Luo.
7 de septiembre. Levent Alpöge (Anthropic) y Tristan Buckmaster (NYU) publican tres trabajos que construyen dato inicial suave y fuerza suave que hacen explotar en tiempo finito la ecuación de medio poroso incompresible, la de Boussinesq en 2D y las de Euler en 3D. Fuertemente asistidos por IA y verificados en Lean, apoyados en el programa de años de Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa. Terence Tao lo comenta ese mismo día y es explícito: esto no resuelve el problema del Clay, y todavía no llega a Navier-Stokes.
8 de septiembre. OpenAI anuncia que un sistema interno produjo una demostración de unas cien páginas de que Navier-Stokes en R³ con fuerza suave desarrolla una singularidad en tiempo finito, también formalizada en Lean. Habla de unos diez mil agentes trabajando 88 horas. Declara que no reclamará el premio.
La reacción. Charles Fefferman, que escribió el enunciado oficial, declaró estar encantado de que el problema se resolviera y señaló como héroes a Córdoba y Martínez-Zoroa. Martin Bridson, presidente del Clay, fue más medido. Y la página oficial del instituto sigue listando el problema como abierto.
La pelea. OpenAI dice que empezó el 1 de septiembre tras oír un rumor sobre el otro equipo, que terminó el 6 y que ofreció publicar en simultáneo reconociendo la prioridad ajena. Buckmaster lo acusa de haberlo presionado para un arreglo que dejaba fuera a Alpöge.
Qué falta para que cuente. Nada de matemática nueva: tiempo. El reglamento del Clay pide publicación en una revista con arbitraje y dos años de aceptación general por la comunidad. Hasta entonces lo correcto es decir que hay una demostración anunciada y formalizada, y que la revisión independiente no ha terminado.