Cuerdas, holografía y cosmología

La raíz cuadrada de Nambu-Goto dificulta la cuantización. Polyakov introduce una métrica auxiliar γ_ab en la hoja de mundo; al eliminarla con su ecuación de movimiento se recupera la acción de área. La acción de Polyakov es invariante bajo reparametrizaciones y bajo transformaciones de Weyl γ → e^2ωγ, y esas tres simetrías locales permiten fijar γ_ab = η_ab. En ese gauge las ecuaciones de movimiento son ecuaciones de onda libres, pero sujetas a que el tensor de energía-momento de la hoja de mundo se anule:

Para la cuerda cerrada, X(σ + 2π) = X(σ), la solución general separa modos que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha:

Los modos de Fourier de los vínculos son los generadores de Virasoro L_n. En el gauge de cono de luz, X⁺ = x⁺ + α′p⁺τ, los vínculos se resuelven explícitamente para X⁻ y solo quedan D − 2 coordenadas transversales como grados de libertad físicos. La combinación L₀ − L̃₀ = 0 impone el emparejamiento de niveles: la excitación total de los modos izquierdos debe igualar a la de los derechos, N = Ñ.

Al ordenar normalmente los osciladores de L₀ aparece la energía de punto cero de D − 2 osciladores transversales por cada modo n, una suma divergente ((D − 2)/2) Σ n. La divergencia se trata con un regulador físico: se suprimen los modos de frecuencia alta con un factor e^−εn y se estudia el límite ε → 0.

El término 1/ε² depende del regulador y corresponde a un término de constante cosmológica en la hoja de mundo, que rompería la invariancia de Weyl; se cancela con un contratérmino local. Lo que sobrevive es la parte finita, −1/12, que coincide con el valor de la continuación analítica ζ(−1). La simulación del lado suma la serie término a término y muestra que ese finito no es un artificio de la continuación: es lo que queda al quitar el polo.

Así, la masa de un estado de nivel N en la cuerda abierta es α′M² = N − a con a = (D − 2)/24. En el gauge de cono de luz la invariancia de Lorentz no es manifiesta; exigir que el conmutador [Jⁱ⁻, J^j−] se anule (Goddard, Goldstone, Rebbi y Thorn, 1973) fija a = 1 y D = 26.

El estado fundamental de la cuerda bosónica tiene M² < 0: es un taquión, señal de que ese vacío es inestable. En la supercuerda, la proyección GSO lo elimina. El primer nivel excitado de la cuerda abierta, α₋₁ⁱ|0⟩, tiene 24 estados y masa nula: son las polarizaciones de un bosón de gauge en 26 dimensiones.

En la cuerda cerrada, el nivel N = Ñ = 1 contiene los 24 × 24 = 576 estados α₋₁ⁱα̃₋₁^j|0⟩. Se descomponen en una parte simétrica sin traza, un gravitón; una antisimétrica, el campo de Kalb-Ramond B_μν; y la traza, el dilatón, cuyo valor esperado fija el acoplamiento de la cuerda.

El número de estados crece exponencialmente con el nivel. Con 24 osciladores transversales, la degeneración d(N) es el coeficiente de q^N en Π(1 − qⁿ)⁻²⁴, la inversa de la función discriminante modular. El método del círculo da su comportamiento asintótico, y el crecimiento e^4π√N implica una densidad de estados ρ(M) ~ e^4π√α′M: por encima de la temperatura de Hagedorn la función de partición diverge.

El residuo en el polo α(s) = n es un polinomio de grado n en t, lo que significa que en ese nivel se intercambian partículas de espín hasta n: una torre infinita de estados de espín alto. La amplitud es simétrica bajo s ↔ t sin sumar por separado los dos canales. Esa dualidad es el origen histórico de la teoría.

Su comportamiento a energía alta es inusual. A t fijo crece como s^α(t); a ángulo fijo decae exponencialmente en s (Gross y Mende, 1987), mucho más rápido que cualquier teoría de campos. Esa blandura ultravioleta es la razón por la que las amplitudes de gravitones en teoría de cuerdas son finitas.

Para la cuerda cerrada, la amplitud de Virasoro-Shapiro tiene la misma estructura con los tres canales. Su desarrollo a baja energía reproduce el término de relatividad general y la primera corrección de cuerdas, con coeficiente 2ζ(3).

Si una dimensión es un círculo de radio R, el momento en esa dirección se cuantiza como n/R, igual que para una partícula. Pero una cuerda cerrada además puede enrollarse w veces alrededor del círculo, y estirarla cuesta energía proporcional a wR/α′. La fórmula de masa queda:

El espectro es invariante bajo R → α′/R si al mismo tiempo se intercambian n y w. Las amplitudes también lo son: una teoría en un círculo grande es físicamente idéntica a otra en uno pequeño, y distancias por debajo de √α′ no tienen un significado operacional distinto de las de arriba.

En el radio autodual R = √α′ aparecen estados sin masa adicionales, con n = ±1, w = ±1 y un oscilador excitado, que completan los bosones de gauge de SU(2) × SU(2). Es el ejemplo más simple de simetría de gauge que emerge de la geometría en un punto especial del espacio de módulos.

Para pasar de diez dimensiones a cuatro conservando una supersimetría, las seis restantes deben formar una variedad compacta Kähler con holonomía SU(3): una variedad de Calabi-Yau (Candelas, Horowitz, Strominger y Witten, 1985). Yau probó en 1978 que admiten una métrica Ricci-plana, pero no se conoce en forma explícita para ninguna variedad compacta. Solo se puede aproximar numéricamente.

La física de baja energía depende de la topología. El número de Hodge h^1,1 cuenta las deformaciones de tamaño (módulos de Kähler) y h^2,1 las de forma (módulos de estructura compleja). En la compactificación heterótica estándar, el número de generaciones de fermiones es |χ|/2.

La quíntica daría cien generaciones, muy lejos de las tres observadas; los modelos realistas usan otras construcciones. Los catálogos crecieron con el tiempo: 7.890 intersecciones completas en espacios proyectivos (Candelas, Dale, Lütken y Schimmrigk, 1988) y 473.800.776 politopos reflexivos en cuatro dimensiones (Kreuzer y Skarke, 2000), cada uno fuente de familias de hipersuperficies.

Ryu y Takayanagi (2006) propusieron que la entropía de entrelazamiento de una región A de la frontera es el área de la superficie mínima del interior anclada a su borde. En AdS₃ esa superficie es una geodésica, y su longitud regulada reproduce la fórmula de Calabrese y Cardy para una teoría conforme en dos dimensiones.

Con dos intervalos A y B hay dos candidatos: las dos geodésicas separadas o las que cruzan los huecos entre ellos. Gana la más corta. Mientras domina la configuración separada, la información mutua I(A:B) = S_A + S_B − S_AB es exactamente cero a orden dominante en 1/G; al pasar a la conectada crece de golpe (Headrick, 2010). Es una transición de fase geométrica que no tiene análogo en una teoría de campos débilmente acoplada.

Estas ideas reorganizaron la gravedad cuántica en torno a tres resultados recientes. Witten (2021) mostró que el álgebra de observables de un agujero negro, de tipo III₁ en teoría de campos, pasa a tipo II_∞ al incluir la primera corrección gravitatoria, lo que da una entropía bien definida. Chandrasekaran, Longo, Penington y Witten (2022) encontraron tipo II₁ para de Sitter, con el espacio vacío como estado de entropía máxima. Y Saad, Shenker y Stanford (2019) mostraron que la gravedad de Jackiw-Teitelboim es dual a una integral de matrices.

No todo lo que se anuncia sobre el tema resiste revisión. El experimento de «teleportación por agujero de gusano» en un procesador cuántico (Jafferis et al., 2022) fue cuestionado por Kobrin et al. (2023), que mostraron que el hamiltoniano aprendido no termaliza y que la señal atribuida a gravedad aparece en modelos genéricos; los autores originales respondieron en 2025.

Kachru, Kallosh, Linde y Trivedi (2003) propusieron un mecanismo en dos pasos. Con un superpotencial de flujo W₀ pequeño y una contribución no perturbativa, el módulo de volumen σ = Re T queda en un mínimo supersimétrico anti-de Sitter. Una anti-D3-brana en una garganta con alabeo suma una energía positiva D/σ² que lo levanta. Con los parámetros del artículo original, W₀ = −10⁻⁴, A = 1 y a = 0,1, la figura encuentra el mínimo en σ = 113,59 con V = −2,00 · 10⁻¹⁵ y comprueba que ahí D_TW = 0.

El mínimo pasa a Minkowski con D = 2,59 · 10⁻¹¹ y desaparece con D = 9,72 · 10⁻¹¹, cuando el módulo rueda hacia volumen infinito. Entre ambos valores hay un de Sitter metaestable. El escenario de gran volumen (Balasubramanian, Berglund, Conlon y Quevedo, 2005) es la alternativa principal.

DESI. Las oscilaciones acústicas de bariones del Dark Energy Spectroscopic Instrument prefieren una ecuación de estado que evoluciona, w(a) = w₀ + wₐ(1 − a) con w₀ > −1 y wₐ < 0: 2,6σ en la primera publicación (2024) y 3,1σ con BAO y CMB en la segunda (2025), entre 2,8σ y 4,2σ al agregar supernovas. Si se confirmara, un de Sitter exacto quedaría descartado como explicación, lo que es compatible con la conjetura.

Un campo con potencial exponencial V₀e^−λφ es el modelo que el pantano sugiere con λ de orden uno. Akrami, Alestas y Nesseris (2025) lo ajustan a DESI DR2 y obtienen λ ≈ 0,70 con preferencia de 3,3σ a 3,8σ. La figura integra ese modelo: con λ = 0,70 y Ω_φ = 0,685 hoy da w₀ = −0,927 y un ajuste CPL con wₐ = −0,10, bastante más suave que los mejores ajustes CPL de DESI. Esos ajustes cruzan w = −1 a corrimiento al rojo alto, algo que un campo escalar canónico no puede hacer. Por eso las propuestas de cuerdas recurren a sectores oscuros acoplados, como la dimensión oscura con radio variable de Bedroya, Obied, Vafa y Wu (2025).

Método. Las cuatro reglas con que conviene usar un modelo en estos problemas vienen de lo que ya salió bien y mal:

1 · El objetivo trae su certificado. Antes de empezar se fija qué cuenta como éxito y cómo se comprueba sin leer la argumentación del modelo.

2 · Se separa lo derivado de lo conjeturado. Cada paso se etiqueta como derivación, conjetura o resultado numérico, y las hipótesis se declaran.

3 · Todo se reproduce. Código y datos quedan disponibles y un segundo modelo o una persona los ejecuta desde cero.

4 · Las referencias se verifican. Los modelos inventan títulos e identificadores de arXiv verosímiles; cada cita se abre antes de usarse.