Un siglo abierto, tres artículos subidos a un repositorio y ninguna revista. Perelman rechazó la medalla Fields y el millón de dólares.
Toma una variedad de dimensión tres que sea cerrada —compacta y sin borde—, conexa y simplemente conexa: cualquier lazo que dibujes sobre ella se puede contraer hasta un punto sin salirse. La conjetura afirma que esa variedad es necesariamente una esfera tridimensional.
En dimensión dos el resultado equivalente se conoce desde el siglo XIX: una superficie cerrada sin asas es una esfera. Poincaré preguntó en 1904 si lo mismo valía en tres, después de haber creído demostrar algo parecido y haberse dado cuenta de que su argumento fallaba. La pregunta se quedó abierta noventa y ocho años.
Lo contraintuitivo de esta historia es que la dimensión tres fue la última en resolverse. Stephen Smale probó el caso n ≥ 5 en 1961, y le dieron la Fields en 1966. Michael Freedman resolvió la dimensión cuatro en 1982, y también le dieron la Fields.
La razón es que en dimensión cinco o más hay espacio de sobra: el truco de Whitney permite deshacer intersecciones indeseadas de superficies moviéndolas un poco, y en dimensiones bajas no hay sitio para moverlas. La dimensión tres es demasiado apretada para las técnicas topológicas y demasiado rígida para las de dimensión alta.
La salida vino de otro lado: en vez de topología, geometría y ecuaciones en derivadas parciales.
Richard Hamilton propuso en 1982 deformar la métrica de la variedad según su propia curvatura:
∂t gij = −2 Rij
Es una ecuación de tipo calor para la geometría: las zonas muy curvadas se alisan, las poco curvadas se dejan estar. La idea es que si dejas correr el flujo, la variedad debería terminar adoptando una forma canónica que la delate. Hamilton lo demostró para variedades con curvatura de Ricci positiva.
El obstáculo es que el flujo puede formar singularidades: cuellos que se estrangulan y se hacen infinitamente finos en tiempo finito. Hamilton propuso cirugía —cortar por el cuello, tapar los dos extremos y seguir— pero no consiguió demostrar que el proceso termina en vez de requerir infinitas cirugías en tiempo finito.
Grigori Perelman subió tres artículos a arXiv entre noviembre de 2002 y julio de 2003. No los envió a ninguna revista. En total son unas setenta páginas, escritas con una densidad que costó años desentrañar.
Sus aportes centrales fueron dos. El primero, la entropía: introdujo dos funcionales, W y F, que crecen monótonamente a lo largo del flujo y que le dan un control que antes no existía. El segundo, el teorema de no colapso local, que impide que la variedad se aplaste en escalas pequeñas y permite clasificar cómo son las singularidades: todas resultan ser cuellos o casquetes, exactamente los casos que la cirugía sabe tratar.
Con eso demostró que las cirugías son finitas en cualquier intervalo de tiempo finito, que el proceso se puede continuar indefinidamente, y de ahí no sólo la conjetura de Poincaré sino la conjetura de geometrización de Thurston, mucho más general: toda variedad de dimensión tres se descompone en piezas, cada una con una de ocho geometrías posibles.
La verificación tomó años. Tres equipos independientes escribieron exposiciones detalladas: Bruce Kleiner y John Lott, John Morgan y Gang Tian, y Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu. Ninguno encontró un error de fondo. En 2006 la revista Science lo eligió avance del año.
Perelman rechazó todo. La medalla Fields en 2006 y el millón de dólares del Clay en 2010. Dijo que su contribución no era mayor que la de Hamilton y que el reconocimiento estaba mal repartido. Está retirado de la matemática.